Álgebra Exemplos

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Etapa 2

Expanda $\ln (4^{3 x + 2})$ movendo $3 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Etapa 3

Reescreva $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ como $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ .

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

Etapa 4

Expanda $\ln (8^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $(3 x + 2) \ln (4)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique $3 \ln (4)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5.1.1.3

Simplifique $2 \ln (4)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.4.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5.1.1.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 \ln (8)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

Etapa 5.4

Combine os termos opostos em $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ .

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Etapa 5.4.1

Subtraia $x \ln (64)$ de $x \ln (64)$ .

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Etapa 5.4.2

Some $0$ e $\ln (16)$ .

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Etapa 5.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

Etapa 5.6

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

Etapa 5.8

Resolva $x$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ .

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

Etapa 5.8.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{16}{x - 5} = 1$

Etapa 5.8.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.8.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 5, 1$

Etapa 5.8.3.2

Remova os parênteses.

$x - 5, 1$

Etapa 5.8.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x - 5$

Etapa 5.8.4

Multiplique cada termo em $\frac{16}{x - 5} = 1$ por $x - 5$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.8.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{16}{x - 5} = 1$ por $x - 5$ .

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Etapa 5.8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 5.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Etapa 5.8.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$16 = 1 (x - 5)$

Etapa 5.8.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.4.3.1

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$16 = x - 5$

Etapa 5.8.5

Resolva a equação.

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Etapa 5.8.5.1

Reescreva a equação como $x - 5 = 16$ .

$x - 5 = 16$

Etapa 5.8.5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.8.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 16 + 5$

Etapa 5.8.5.2.2

Some $16$ e $5$ .

$x = 21$