Álgebra Exemplos

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ como uma equação.

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $500 (0.04 - y^{2}) = x$ .

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $500 (0.04 - y^{2}) = x$ por $500$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $500 (0.04 - y^{2}) = x$ por $500$ .

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $0.04 - y^{2}$ por $1$ .

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.3

Subtraia $0.04$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ como $- \frac{x}{500}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.3

Divida $- 0.04$ por $- 1$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ .

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Etapa 3.6.1

Para escrever $0.04$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $0.04$ e $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

Etapa 3.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.1

Fatore $0.04$ de $- x + 0.04 \cdot 500$ .

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Etapa 3.6.3.1.1

Fatore $0.04$ de $- x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Etapa 3.6.3.1.2

Fatore $0.04$ de $0.04 \cdot 500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

Etapa 3.6.3.1.3

Fatore $0.04$ de $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

Etapa 3.6.3.2

Fatore $25$ de $- 25 x + 500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1

Fatore $25$ de $- 25 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

Etapa 3.6.3.2.2

Fatore $25$ de $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

Etapa 3.6.3.2.3

Fatore $25$ de $25 (- x) + 25 (20)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

Etapa 3.6.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 3.6.3.3.1

Multiplique $0.04$ por $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

Etapa 3.6.3.3.2

Multiplique $- x + 20$ por $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

Etapa 3.6.4

Reescreva $\frac{- x + 20}{500}$ como ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ .

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Etapa 3.6.4.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $- x + 20$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

Etapa 3.6.4.2

Fatore a potência perfeita $10^{2}$ de $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

Etapa 3.6.4.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

Etapa 3.6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

Etapa 3.6.6

Reescreva $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ como $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 3.6.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 3.6.8.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 3.6.8.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 3.6.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.6.8.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 3.6.8.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 3.6.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 3.6.8.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 3.6.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

Etapa 3.6.10

Multiplique $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

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Etapa 3.6.10.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Etapa 3.6.10.2

Multiplique $10$ por $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

Etapa 3.6.11

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ é o inverso de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 20]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{5 (- x + 20)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 (- x + 20) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $5 (- x + 20) \geq 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $5 (- x + 20) \geq 0$ por $5$ .

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $- x + 20$ por $1$ .

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$- x + 20 \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $20$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 20$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- x \geq - 20$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \geq - 20$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.3.1

Divida $- 20$ por $- 1$ .

$x \leq 20$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 20]$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ não é um inverso de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Não há inverso

Etapa 6