Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.1.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2, x, 1$

Etapa 3.1.2

Como $2, x, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2, x, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $2, x, 1$ .

Etapa 3.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.1.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.1.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.1.6

O MMC de $2, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.1.8

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 3.1.9

O MMC de $2, x, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 x$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ por $2 x$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ por $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.5

Multiplique $2 \frac{12}{x}$ .

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Etapa 3.2.2.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $10 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $x^{2} + 24 - 10 x$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 6, - 4$

Etapa 3.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Etapa 3.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 3.3.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.3.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 4$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{12}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $- 2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $0.98$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo $0.6875$ é maior do que o lado direito $0.625$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $0 < x < 4$ ou $x > 6$

Etapa 8

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Etapa 9