Álgebra Exemplos

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Etapa 1

Pegue o logaritmo de ambos os lados da desigualdade.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Etapa 2

Expanda $\ln (12^{3 x + 4})$ movendo $3 x + 4$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ como $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ .

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Etapa 4

Expanda $\ln (2^{5 x + 3})$ movendo $5 x + 3$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Etapa 5

Expanda $\ln (3^{2 x - 1})$ movendo $2 x - 1$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6

Resolva a desigualdade para $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Simplifique $(3 x + 4) \ln (12)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique $3 \ln (12)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique $4 \ln (12)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.4.1

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.1.1.4.2

Eleve $12$ à potência de $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

Simplifique $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique $5 \ln (2)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.3

Simplifique $3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1.4.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.7

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Etapa 6.2.1.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Etapa 6.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Etapa 6.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 6.5.2.1

Fatore $8$ de $20736$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Etapa 6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Etapa 6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Etapa 6.5.3

Multiplique $2592$ por $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Etapa 6.6

Subtraia $\ln (7776)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Etapa 6.7

Fatore $x$ de $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ .

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Etapa 6.7.1

Fatore $x$ de $x \ln (1728)$ .

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Etapa 6.7.2

Fatore $x$ de $- x \ln (32)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Etapa 6.7.3

Fatore $x$ de $- x \ln (9)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Etapa 6.7.4

Fatore $x$ de $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Etapa 6.7.5

Fatore $x$ de $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Etapa 6.8

Reescreva $- 1 \ln (32)$ como $- \ln (32)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Etapa 6.9

Reescreva $- 1 \ln (9)$ como $- \ln (9)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Etapa 6.10

Divida cada termo em $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ por $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ e simplifique.

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Etapa 6.10.1

Divida cada termo em $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ por $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Etapa 6.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.10.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

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Etapa 6.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Etapa 6.10.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Etapa 6.10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Etapa 9