Álgebra Exemplos

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Etapa 1

Multiplique cada termo por um fator de $1$ , que vai equacionar todos os denominadores. Nesse caso, todos os termos precisam de um denominador de $3$ .

$\tan (θ) \cdot \frac{3}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $3$ .

$\tan (θ) \cdot 3$

Etapa 3

Mova $3$ para a esquerda de $\tan (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $3$ .

$\sin (θ) \cdot 3$

Etapa 5

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 \sin (θ)}{3}$

Etapa 6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1

Simplifique $\tan (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Divida $3$ por $3$ .

$\tan (θ) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot 1$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Etapa 8

Divida cada termo em $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $\tan (θ)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (θ)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Separe as frações.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (θ)}$

Etapa 8.3.2

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 8.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 8.3.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 8.3.5

Simplifique.

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Etapa 8.3.5.1

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 8.3.5.2

Multiplique $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.3.6

Divida $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $\sin (θ)$ .

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Etapa 8.3.7.1

Fatore $\sin (θ)$ de $2 \sqrt{3} \sin (θ)$ .

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.3.7.2

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.3.7.3

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (θ)$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e $\cos (θ)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Etapa 9

Reescreva a equação como $\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$

Etapa 10

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 11.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.1.1

Simplifique $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$ .

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Etapa 11.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.1.1.2

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3}$ .

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Etapa 11.1.1.2.1

Fatore $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3} \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Simplifique $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1.2.1

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 11.2.1.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2.7.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 14

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 15

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 15.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.2

Combine frações.

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Etapa 15.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 15.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Etapa 16

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 16.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 17

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$