Álgebra Exemplos

$\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Etapa 1

Simplifique $\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{x - 3}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{x - 5}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x - 3}{x - 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{x - 5}{x - 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} > 0$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 3) (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 3) - 3 (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.2.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 + (- x - - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 + (- x + 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.5

Expanda $(- x + 5) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x (x - 2) + 5 (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 5 (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 2 x + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.6.1.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 2 x + 5 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.6.2

Some $2 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.7

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x + 9 + 0 + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.8

Some $- 6 x$ e $0$ .

$\frac{- 6 x + 9 + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.9

Some $- 6 x$ e $7 x$ .

$\frac{x + 9 - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 1.5.10

Subtraia $10$ de $9$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = 2$

$x = 3$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 1, 2, 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x - 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8.3

Defina o denominador em $\frac{x - 5}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 8.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 2} - \frac{(0) - 5}{(0) - 3} > 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 0.1\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{(1.5) - 3}{(1.5) - 2} - \frac{(1.5) - 5}{(1.5) - 3} > 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\frac{(2.5) - 3}{(2.5) - 2} - \frac{(2.5) - 5}{(2.5) - 3} > 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 6$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{(6) - 3}{(6) - 2} - \frac{(6) - 5}{(6) - 3} > 0$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $0.41\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1 < x < 2$ ou $x > 3$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1 < x < 2 or x > 3$

Notação de intervalo:

$(1, 2) \cup (3, \infty)$

Etapa 13