Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ como uma equação.

$y = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{\frac{y}{y - 1}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $(y - 1) (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 1 x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $(\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva $\sqrt{\frac{y}{y - 1}}$ como $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ por $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} \cdot \frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ por $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.2

Eleve $\sqrt{y - 1}$ à potência de $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.3

Eleve $\sqrt{y - 1}$ à potência de $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} {\sqrt{y - 1}}^{1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1 + 1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{2}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{y - 1}}^{2}$ como $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{1}} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.3.6.5

Simplifique.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y x - x = \sqrt{y (y - 1)}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt{y (y - 1)} = y x - x$

Etapa 3.4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y (y - 1)}}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y (y - 1)}$ como ${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Simplifique ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y (y - 1))}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(y \cdot y + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1.3.1

Multiplique $y$ por $y$ .

${(y^{2} + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.1.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

${(y^{2} - 1 \cdot y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

${(y^{2} - y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.2.1.3

Simplifique.

$y^{2} - y = {(y x - x)}^{2}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Simplifique ${(y x - x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.1

Reescreva ${(y x - x)}^{2}$ como $(y x - x) (y x - x)$ .

$y^{2} - y = (y x - x) (y x - x)$

Etapa 3.4.3.3.1.2

Expanda $(y x - x) (y x - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x - x) - x (y x - x)$

Etapa 3.4.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x - x)$

Etapa 3.4.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Mova $y$ .

$y^{2} - y = y \cdot y x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} (x \cdot x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x \cdot x - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Mova $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y (x \cdot x) - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x (y x) - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - (x \cdot x) y - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - x (- x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Mova $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + 1 x^{2}$

Etapa 3.4.3.3.1.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + x^{2}$

Etapa 3.4.3.3.1.3.2

Subtraia $x^{2} y$ de $- y x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.3.2.1

Mova $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - x^{2} y - x^{2} y + x^{2}$

Etapa 3.4.3.3.1.3.2.2

Subtraia $x^{2} y$ de $- x^{2} y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y + x^{2}$

Etapa 3.4.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1

Subtraia $y^{2} x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} = - 2 x^{2} y + x^{2}$

Etapa 3.4.4.1.2

Some $2 x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y = x^{2}$

Etapa 3.4.4.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y - x^{2} = 0$

Etapa 3.4.4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.4.4

Substitua os valores $a = 1 - x^{2}$ , $b = - 1 + 2 x^{2}$ e $c = - x^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 1 + 2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.4

Reescreva ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ como $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.5

Expanda $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.6.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.11

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.12

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.14

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1.14.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.14.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.15

Some $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.16

Some $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.17

Subtraia $4 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.18

Some $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.1.19

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.5.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.4

Reescreva ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ como $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.5

Expanda $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.6.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.11

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.12

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.14

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1.14.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.14.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.15

Some $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.16

Some $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.17

Subtraia $4 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.18

Some $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.1.19

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.6.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} + 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.4.1

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.2

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.4

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y = \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.4.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.5.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.5.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.6

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.6.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.6.6.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.6.7

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.7.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.6.7.2

Reescreva a expressão.

$y = 1$

Etapa 3.4.4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.4

Reescreva ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ como $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.5

Expanda $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.6.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.11

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.12

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.14

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.1.14.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.14.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.15

Some $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.16

Some $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.17

Subtraia $4 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.18

Some $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.1.19

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.7.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Etapa 3.4.4.7.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} - 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.4.7.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 0}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.4.2

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.4.4.7.5.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.4.7.5.2.1

Fatore $2$ de $2 (1 + x) (1 - x)$ .

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 3.4.4.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 3.4.4.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.4.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ e $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.3

Find the domain of the inverse.

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Etapa 5.3.1

Encontre o domínio de $1$ .

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Etapa 5.3.1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.3.2

Encontre o domínio de $- \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 5.3.2.2.2

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.3.2.2.3

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 5.3.2.2.3.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 5.3.2.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 5.3.2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + x) (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 5.3.2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.3.3

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Etapa 5.3.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ , então, $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ não é um inverso de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Não há inverso

Etapa 6