Álgebra Exemplos

$- 3^{- x} - 6 = - 3^{x} + 10$

Etapa 1

Some $3^{x}$ aos dois lados da equação.

$- 3^{- x} - 6 + 3^{x} = 10$

Etapa 2

Reescreva $3^{- x}$ como exponenciação.

$- {(3^{x})}^{- 1} - 6 + 3^{x} = 10$

Etapa 3

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$- u^{- 1} - 6 + u = 10$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{u} - 6 + u = 10$

Etapa 5

Mova $- 6$ .

$- \frac{1}{u} + u - 6 = 10$

Etapa 6

Reordene $- \frac{1}{u}$ e $u$ .

$u - \frac{1}{u} - 6 = 10$

Etapa 7

Resolva $u$ .

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Etapa 7.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1, 1$

Etapa 7.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{u}$ para o numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 1 - 6 u = 10 u$

Etapa 7.3

Resolva a equação.

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Etapa 7.3.1

Mova todos os termos que contêm $u$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.3.1.1

Subtraia $10 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 - 6 u - 10 u = 0$

Etapa 7.3.1.2

Subtraia $10 u$ de $- 6 u$ .

$u^{2} - 1 - 16 u = 0$

Etapa 7.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 16$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4

Simplifique.

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Etapa 7.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.4.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.3

Some $256$ e $4$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.4

Reescreva $260$ como $2^{2} \cdot 65$ .

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Etapa 7.3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $260$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Etapa 7.3.4.3

Simplifique $\frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$u = 8 \pm \sqrt{65}$

Etapa 7.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 8 + \sqrt{65}, 8 - \sqrt{65}$

Etapa 8

Substitua $8 + \sqrt{65}$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$8 + \sqrt{65} = 3^{x}$

Etapa 9

Resolva $8 + \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 8 + \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 + \sqrt{65}$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Etapa 9.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Etapa 9.4

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 9.4.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Etapa 9.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 9.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Etapa 9.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Etapa 10

Substitua $8 - \sqrt{65}$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$8 - \sqrt{65} = 3^{x}$

Etapa 11

Resolva $8 - \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Etapa 11.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Etapa 11.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 - \sqrt{65})$

Etapa 11.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (8 - \sqrt{65})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 11.4

Não há uma solução para $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Nenhuma solução

Etapa 12

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 2.52725398 \dots$