Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ como uma equação.

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{y^{2} - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{y^{2} - 1} = x$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} = x$

Etapa 3.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}} = x$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(y + 1) (y - 1), 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(y + 1) (y - 1)$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ por $(y + 1) (y - 1)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $(y + 1) (y - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = x ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x (y (y - 1) + 1 (y - 1))$

Etapa 3.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1))$

Etapa 3.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 = x (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$1 = x (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$1 = x (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y - 1)$

Etapa 3.4.3.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$1 = x (y^{2} + 0 - 1)$

Etapa 3.4.3.2.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$1 = x (y^{2} - 1)$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x y^{2} + x \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = x y^{2} - 1 \cdot x$

Etapa 3.4.3.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = x y^{2} - x$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $x y^{2} - x = 1$ .

$x y^{2} - x = 1$

Etapa 3.5.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x y^{2} = 1 + x$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $x y^{2} = 1 + x$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $x y^{2} = 1 + x$ por $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{1}{x} + 1$

Etapa 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

Etapa 3.5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Etapa 3.5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{x}}$

Etapa 3.5.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{1 + x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.5.5.4

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.5.5.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 3.5.5.5.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 3.5.5.5.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 3.5.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 3.5.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 3.5.5.5.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x}$

Etapa 3.5.5.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$

Etapa 3.5.5.7

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 3.5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 3.5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 3.5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (1 + x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (1 + x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.2.3

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 + x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 5.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 5.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- 4 (1 - 4) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$- 0.5 (1 - 0.5) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$2 (1 + 2) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 5.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 0$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.3.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2} - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.4.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ é o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Etapa 6