Álgebra Exemplos

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Etapa 1

Reescreva a divisão como uma fração.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Etapa 3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Etapa 5.2

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Etapa 5.3

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Etapa 6.2

Para escrever $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Etapa 6.3

Para escrever $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4.2

Eleve $x + y$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4.3

Eleve $x + y$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Etapa 6.4.6

Multiplique $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 6.6

Reescreva $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.6.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 6.6.2

Some $y + y$ e $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 6.6.3

Some $y$ e $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Combine.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 7.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Etapa 8

Fatore $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ de $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 9

Combine.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $y - x$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.1

Fatore $2$ de ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Etapa 11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de ${(x + y)}^{2}$ e $y + x$ .

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Etapa 13.1

Reordene os termos.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Etapa 13.2

Fatore $x + y$ de ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Etapa 13.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Etapa 13.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Etapa 13.3.4

Divida $(x + y) (2 x)$ por $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Etapa 14

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) + y (2 x)$

Etapa 15

Reordene.

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Etapa 15.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Etapa 15.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Etapa 16

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 16.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Etapa 16.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$