Álgebra Exemplos

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2.2.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2.2.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ por $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.1.3.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.1.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.1.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.4.1

Fatore $x + 2$ de $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.4.2.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Etapa 2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Etapa 2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 2, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$x + 2, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + 2$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ por $x + 2$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ por $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 x = 12 (x + 2)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1.1

Subtraia $12 x$ dos dois lados da equação.

$3 x - 12 x = 24$

Etapa 3.4.1.2

Subtraia $12 x$ de $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- 9 x = 24$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- 9 x = 24$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $24$ e $- 9$ .

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Etapa 3.4.2.3.1.1

Fatore $3$ de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{8}{- 3}$

Etapa 3.4.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8}{3}$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{12}{x (x + 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x + 2) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 4.3

Defina o denominador em $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $0.8$ não é menor do que o lado direito $0.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.33$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $- 2.33$ na desigualdade original.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $15.60671088$ é menor do que o lado direito $27.54820936$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $- 12$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo $1.5$ não é menor do que o lado direito $0.1875$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ ou $- 2 < x < 0$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Notação de intervalo:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Etapa 9