Álgebra Exemplos

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} = 5$

Etapa 1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$p, p + 1, 1, 1$

Etapa 2.2

Como $p, p + 1, 1, 1$ contém números e variáveis, há quatro etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC das partes numéricas, variáveis e variáveis compostas. Depois, multiplique tudo.

As etapas para encontrar o MMC de $p, p + 1, 1, 1$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $p^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $p + 1$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

O fator de $p^{1}$ é o próprio $p$ .

$p^{1} = p$

$p$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $p^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$p$

Etapa 2.8

O fator de $p + 1$ é o próprio $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $p + 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$p + 1$

Etapa 2.10

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$p (p + 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ por $p (p + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ por $p (p + 1)$ .

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $p$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 (p + 1) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $p + 1$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Fatore $p + 1$ de $p (p + 1)$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p \cdot p + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $p$ por $p$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $p$ por $1$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p) = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$2 p + 2 + 3 p - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Some $2 p$ e $3 p$ .

$5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.2.2

Combine os termos opostos em $5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $5 p$ de $5 p$ .

$2 - 5 p^{2} + 0 = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $2 - 5 p^{2}$ e $0$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p (p + 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 5 p^{2} = 0 (p \cdot p + p \cdot 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $p$ por $p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p \cdot 1)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $p$ por $1$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p)$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $0$ por $p^{2} + p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 5 p^{2} = - 2$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- 5 p^{2} = - 2$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- 5 p^{2} = - 2$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $p^{2}$ por $1$ .

$p^{2} = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$p^{2} = \frac{2}{5}$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$p = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Etapa 4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 4.4.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 4.4.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 4.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 4.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 4.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 4.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$p = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Etapa 4.4.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$p = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$p = 0.63245553 \dots, - 0.63245553 \dots$