Álgebra Exemplos

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \div \frac{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}{2 p^{2} + 6 p + 18}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(p^{2} - 2^{2}) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = p$ e $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 3^{3}} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = p$ e $b = 3$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + p \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $p$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 \cdot p + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 3.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $p + 2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $p + 2$ de $(p + 2) (p - 2) (p + 3)$ .

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$ por $\frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 5

Fatore $2$ de $2 p^{2} + 6 p + 18$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $2 p^{2}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 5.2

Fatore $2$ de $6 p$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 2 (3 p) + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 5.3

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 2 (3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $2 p^{2} + 2 (3 p)$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 5.5

Fatore $2$ de $2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p + 9))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Etapa 6

Fatore $p^{2} + p - 6$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) ((p - 2) (p + 3))}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $p - 2$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $p + 3$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $p^{2} + 3 p + 9$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{p - 3}$