Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ como uma equação.

$y = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 2

Simplifique $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

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Etapa 2.1.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ por $\frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})}$ .

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})} \cdot \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 2.1.2

Combine.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (\frac{1}{x} - 1)}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Etapa 2.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $1 + \frac{1}{x - 1}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}$ para o numerador.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 2.3.2.2

Fatore $1 + \frac{1}{x - 1}$ de $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Etapa 2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $x - 1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2

Combine.

$y = \frac{(x - 1) (1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1)}$

Etapa 2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 1 + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x \cdot x - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x - 1 + 1}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.7.1

Some $- 1$ e $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x + 0}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.7.2

Some $x$ e $0$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.8

Multiplique $x^{2} - x$ por $\frac{x}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x^{2} - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.9.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 2.7.9.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x (x - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.2

Combine expoentes.

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Etapa 2.7.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x^{1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1 + 1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.9.2.4

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.10

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.7.10.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.10.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + x^{2} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.11

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - 1 \cdot x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.12

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.13

Some $- 1$ e $1$ .

$y = \frac{x + 0 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.14

Some $x$ e $0$ .

$y = \frac{x - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.15

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

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Etapa 2.7.15.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{1} - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.15.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.15.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.7.15.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.8.1

Fatore $(x - 1) x$ de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1$ .

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Etapa 2.8.1.1

Fatore $(x - 1) x$ de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x \cdot - 1}$

Etapa 2.8.1.2

Fatore $(x - 1) x$ de $(x - 1) x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)}$

Etapa 2.8.1.3

Fatore $(x - 1) x$ de $(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 - 1)}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $1 + \frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1} - 1)}$

Etapa 2.8.3

Combine os termos opostos em $1 + \frac{1}{x - 1} - 1$ .

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Etapa 2.8.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (0 + \frac{1}{x - 1})}$

Etapa 2.8.3.2

Some $0$ e $\frac{1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x \frac{1}{x - 1}}$

Etapa 2.8.4

Combine $\frac{1}{x - 1}$ e $x$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $1 - x$ e $x - 1$ .

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Etapa 2.9.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9.4

Reordene os termos.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9.5

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.9.6

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x \cdot (- 1)}{\frac{x}{x - 1}}$

Etapa 2.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = x (- 1) \frac{x - 1}{x}$

Etapa 2.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.11.1

Cancele o fator comum.

$y = x \cdot - 1 \frac{x - 1}{x}$

Etapa 2.11.2

Reescreva a expressão.

$y = - (x - 1)$

Etapa 2.12

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - x - - 1$

Etapa 2.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - x + 1$