Álgebra Exemplos

$\frac{y}{5 y - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $5$ de $5 y - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $5$ de $5 y$ .

$\frac{y}{5 (y) - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.1.2

Fatore $5$ de $- 10$ .

$\frac{y}{5 y + 5 \cdot - 2} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.1.3

Fatore $5$ de $5 y + 5 \cdot - 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $3 y + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y) + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 y + 3 \cdot 2} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.2.3

Fatore $3$ de $3 y + 3 \cdot 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

Etapa 1.3

Fatore $15$ de $15 y^{2} - 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $15$ de $15 y^{2}$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2}) - 60}$

Etapa 1.3.2

Fatore $15$ de $- 60$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} + 15 \cdot - 4}$

Etapa 1.3.3

Fatore $15$ de $15 y^{2} + 15 \cdot - 4$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2} - 4)}$

Etapa 1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2} - 2^{2})}$

Etapa 1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))}$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$5 (y - 2), 3 (y + 2), 15 (y + 2) (y - 2)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

Como $5$ não tem fatores além de $1$ e $5$ .

$5$ é um número primo

Etapa 2.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 2.5

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 2.7

O fator de $y - 2$ é o próprio $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $y + 2$ é o próprio $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $y - 2$ é o próprio $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $y - 2, y + 2, y + 2, y - 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y - 2) (y + 2)$

Etapa 2.11

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$15 (y - 2) (y + 2)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$ por $15 (y - 2) (y + 2)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$ por $15 (y - 2) (y + 2)$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$5 (3) \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 3 \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \frac{y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{y}{y - 2}$ .

$\frac{3 y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$3 y (y + 2) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.6.1

Mova $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.8

Cancele o fator comum de $3 (y + 2)$ .

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Etapa 3.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{3 (y + 2)}$ para o numerador.

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.8.2

Fatore $3 (y + 2)$ de $15 (y - 2) (y + 2)$ .

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (3 (y + 2) (5 (y - 2))) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (3 (y + 2) (5 (y - 2))) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 6 y - 5 (5 (y - 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$3 y^{2} + 6 y - 25 (y - 2) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} + 6 y - 25 y - 25 \cdot - 2 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.11

Multiplique $- 25$ por $- 2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 25 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.2.2

Subtraia $25 y$ de $6 y$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $15$ de $15 (y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $(y - 2) (y + 2)$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $(y - 2) (y + 2)$ de $(y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y - 2) (y + 2) (1)} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y - 2) (y + 2) \cdot 1} ((y - 2) (y + 2))$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 2 y^{2} - 19 y + 54$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $2 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} = - 19 y + 54$

Etapa 4.1.2

Some $19 y$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} + 19 y = 54$

Etapa 4.1.3

Combine os termos opostos em $3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} + 19 y$ .

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Etapa 4.1.3.1

Some $- 19 y$ e $19 y$ .

$3 y^{2} + 50 - 2 y^{2} + 0 = 54$

Etapa 4.1.3.2

Some $3 y^{2} + 50 - 2 y^{2}$ e $0$ .

$3 y^{2} + 50 - 2 y^{2} = 54$

Etapa 4.1.4

Subtraia $2 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} + 50 = 54$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $50$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = 54 - 50$

Etapa 4.2.2

Subtraia $50$ de $54$ .

$y^{2} = 4$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{4}$

Etapa 4.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 2$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 2$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 2$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2, - 2$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{y}{5 y - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$