Álgebra Exemplos

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 1

Substitua $\sin^{2} (θ)$ por $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 3

Defina $\cos (2 θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $\cos (2 θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (2 θ) = 0$ para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$2 θ = \arccos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.3

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.5

Resolva $θ$ .

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Etapa 3.2.5.1

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.5.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.2.5.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.5.2

Divida cada termo em $2 θ = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.5.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.5.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\cos (2 θ)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

O período da função $\cos (2 θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $1 - \cos^{2} (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $1 - \cos^{2} (θ)$ como igual a $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $- \cos^{2} (θ) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos^{2} (θ) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Divida $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

Etapa 4.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

Etapa 4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (θ) = 1$

Etapa 4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (θ) = - 1$

Etapa 4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (θ) = 1, - 1$

Etapa 4.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

Etapa 4.2.7

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = 1$ .

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Etapa 4.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (1)$

Etapa 4.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Etapa 4.2.7.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Etapa 4.2.7.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 4.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.8

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$θ = π$

Etapa 4.2.8.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π - π$

Etapa 4.2.8.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Etapa 4.2.8.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.9

Liste todas as soluções.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.10

Consolide as respostas.

$θ = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ verdadeiro.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{3 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ verdadeira.

Nenhuma solução