Álgebra Exemplos

$\log (2 x) = 1 - \log (x + 4)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log (2 x) + \log (x + 4) = 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x (x + 4)) = 1$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4) = 1$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4) = 1$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot 4) = 1$

Etapa 5

Multiplique $4$ por $2$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x) = 1$

Etapa 6

Reescreva $\log (2 x^{2} + 8 x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} + 8 x$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} + 8 x = 10^{1}$ .

$2 x^{2} + 8 x = 10$

Etapa 7.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 8 x - 10 = 0$

Etapa 7.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 8 x - 10$ .

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Etapa 7.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 8 x - 10 = 0$

Etapa 7.3.1.2

Fatore $2$ de $8 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10 = 0$

Etapa 7.3.1.3

Fatore $2$ de $- 10$ .

$2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

Etapa 7.3.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (4 x)$ .

$2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

Etapa 7.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ .

$2 (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Etapa 7.3.2

Fatore.

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Etapa 7.3.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 7.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 7.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 7.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 7.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 7.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 7.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 5$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\log (2 x) = 1 - \log (x + 4)$ verdadeira.

$x = 1$