Álgebra Exemplos

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} < \frac{x + 1}{4}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x + 1}{4}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4}$ .

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Etapa 2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - (\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{12}{12}) - \frac{x + 1}{4} < 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{x + 1}{4}$ por $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - (\frac{x + 1}{4} \cdot \frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}) < 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $\frac{x + 1}{4}$ por $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Etapa 2.1.7

Reordene os fatores de $3 (4 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Etapa 2.1.8

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Etapa 2.1.9

Reordene os fatores de $(x - 2) \cdot 12$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Etapa 2.1.10

Reordene os fatores de $4 (3 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.1.11

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (4 (x - 2)) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x (x - 2) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1 \cdot 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x + 3 \cdot - 2)}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.8

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.9

Expanda $(- x - 1) (3 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x - 6) - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.10.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.10.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.3.10.2

Subtraia $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.4

Subtraia $3 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 12 + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5

Some $- 8 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 12 + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.6

Some $- 12$ e $6$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 2.7

Fatore $x^{2} - 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 6, 1$

Etapa 2.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 6$

$x = - 1$

$x = 2$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 6, - 1, 2$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$12 (x - 2) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $12 (x - 2) = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1.1

Divida cada termo em $12 (x - 2) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 9.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 9.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 9.2.1.2.1.2

Divida $x - 2$ por $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{12}$

Etapa 9.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 9.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{- 4}{3} - \frac{1}{(- 4) - 2} < \frac{(- 4) + 1}{4}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 1.1\overline{6}$ é menor do que o lado direito $- 0.75$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{0}{3} - \frac{1}{(0) - 2} < \frac{(0) + 1}{4}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $0.5$ não é menor do que o lado direito $0.25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4}{3} - \frac{1}{(4) - 2} < \frac{(4) + 1}{4}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0.8\overline{3}$ é menor do que o lado direito $1.25$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{(8) - 2} < \frac{(8) + 1}{4}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $2.5$ não é menor do que o lado direito $2.25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $2 < x < 6$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 1 or 2 < x < 6$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (2, 6)$

Etapa 14