Álgebra Exemplos

$- x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 2

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 98$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 2.2

Fatore $2$ de $- 98$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 2.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 3

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 5

Fatore $x$ de $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $x$ de $- x^{5}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $52 x^{3}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Etapa 5.3

Fatore $x$ de $- 147 x$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Etapa 5.4

Fatore $x$ de $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Etapa 5.5

Fatore $x$ de $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Etapa 6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Etapa 7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ e cuja soma é $b = 52$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $52$ de $52 u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Etapa 8.1.2

Reescreva $52$ como $3$ mais $49$

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 3$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Etapa 10

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Etapa 11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Etapa 11.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Etapa 12

Fatore $(x + 7) (x - 7)$ de $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Fatore $(x + 7) (x - 7)$ de $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Etapa 12.2

Fatore $(x + 7) (x - 7)$ de $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Etapa 12.3

Fatore $(x + 7) (x - 7)$ de $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Etapa 14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Etapa 15

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Etapa 16

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Mova $x^{2}$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Etapa 16.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x)$

Etapa 16.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Etapa 16.3

Some $2$ e $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Etapa 17

Reordene os termos.

$(x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Etapa 18

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Reescreva $- x^{3} + 3 x + 2$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Fatore $- x^{3} + 3 x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 18.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 18.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Etapa 18.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Etapa 18.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Etapa 18.1.1.3.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Etapa 18.1.1.3.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 18.1.1.3.6

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 18.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Etapa 18.1.1.5

Divida $- x^{3} + 3 x + 2$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 18.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Etapa 18.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 18.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 18.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 18.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 18.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 18.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 18.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 18.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Etapa 18.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 18.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 18.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 18.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 2$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 18.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 18.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + x + 2$

Etapa 18.1.1.6

Escreva $- x^{3} + 3 x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Etapa 18.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Etapa 18.1.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Etapa 18.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Etapa 18.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Etapa 18.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Etapa 18.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Etapa 18.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Etapa 18.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Etapa 19

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Etapa 19.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Etapa 19.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Etapa 19.4

Remova os parênteses.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Etapa 19.5

Eleve $- x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} (- x - 1)) (x - 2)$

Etapa 19.6

Eleve $- x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} {(- x - 1)}^{1}) (x - 2)$

Etapa 19.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Etapa 19.8

Some $1$ e $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 20

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Fatore o negativo.

$- ((x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$

Etapa 20.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 21

Fatore $- 1$ de $- x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 21.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1 (1))}^{2} (x - 2)$

Etapa 21.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x + 1))}^{2} (x - 2)$

Etapa 22

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Aplique a regra do produto a $- (x + 1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) ({(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) (x - 2)$

Etapa 22.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x + 7) (x - 7) {(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 23

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 23.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 23.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(- 1)}^{2 + 1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Etapa 23.3

Some $2$ e $1$ .

${(- 1)}^{3} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$