Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{2}{24}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{1}{x - 10}$ por $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1}{x - 10}$ por $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{2}{24}$ por $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $\frac{2}{24}$ por $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Etapa 2.1.7

Reordene os fatores de $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Etapa 2.1.8

Reordene os fatores de $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Etapa 2.1.9

Reordene os fatores de $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.2

Mova $24$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 10$ por $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.4

Mova $24$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.7

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 10$ por $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.4

Some $24 x$ e $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.5

Some $48 x$ e $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $68 x - 240 - 2 x^{2}$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $2$ de $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6.2

Fatore $2$ de $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6.3

Fatore $2$ de $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6.4

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6.5

Fatore $2$ de $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Fatore $2$ de $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Etapa 2.6.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Etapa 2.6.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ e cuja soma é $b = 34$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Fatore $34$ de $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.2.2

Reescreva $34$ como $4$ mais $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.7.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.7.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.9

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Etapa 5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

Some $30$ aos dois lados da equação.

$x = 30$

Etapa 7

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, 4, 30, 10$

Etapa 10

Encontre o domínio de $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$12 x (x - 10) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Etapa 10.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 10.2.3

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 10.2.3.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 10.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x - 10) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 10$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 0.58\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0.08\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $0.375$ é maior do que o lado direito $0.08\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{190476}$ é menor do que o lado direito $0.08\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $10 < x < 30$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $10 < x < 30$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $0.58\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0.08\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.5

Teste um valor no intervalo $x > 30$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 30$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 32$

Etapa 12.5.2

Substitua $x$ por $32$ na desigualdade original.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Etapa 12.5.3

O lado esquerdo $0.07670\overline{45}$ é menor do que o lado direito $0.08\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Verdadeiro

$x > 30$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Verdadeiro

$x > 30$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq 4$ ou $10 < x \leq 30$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Notação de intervalo:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Etapa 15