Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 12 x}{- 4 x^{2} - 8 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $- \frac{(x - 4) (x + 3)}{4 (x + 2)}$ é indefinida.

$x = - 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 5.1.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{- x^{2} + 1 x + 12}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 3$ mais $4$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 4) x + 12}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 4 x + 12}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 4 x + 12}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 3) - 4 (- x - 3)}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 4)}{4 x + 8}$

Etapa 5.1.2

Fatore $4$ de $4 x + 8$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 4)}{4 (x) + 8}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 4)}{4 x + 4 \cdot 2}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $4$ de $4 x + 4 \cdot 2$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.6.1

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2

Expanda $- (x + 3) (x - 4)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $x + 3$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- x - 1 \cdot 3) (x - 4)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x (x - 4) - 1 \cdot (3 (x - 4))}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 \cdot (3 (x - 4))}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 4 - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.6

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.7

Fatore o negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 3 x - 1 \cdot 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 3 x - 3 \cdot - 4}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.15

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 3 x + 12}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.16

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + x + 12}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.3

Expanda $4 (x + 2)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + x + 12}{4 x + 4 \cdot 2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + x + 12}{4 x + 8}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$12$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$12$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{3}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$12$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{3}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$12$
					+	$3 x$	+	$6$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 6$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{3}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$12$
					-	$3 x$	-	$6$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{3}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$12$
					-	$3 x$	-	$6$
							+	$6$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{6}{4 x + 8}$

Etapa 5.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7