Álgebra Exemplos

$f (x) = | x + 2 |$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Defina o argumento no valor absoluto como igual a $0$ para encontrar os possíveis valores para dividir a solução.

$x + 2 = 0$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Resolva a equação para $x$ .

$x = - 2$

Etapa 3.2

Crie intervalos em torno das soluções para descobrir onde $x + 2$ é positivo e negativo.

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Etapa 3.3

Substitua um valor de cada intervalo em $x + 2$ para descobrir onde a expressão é positiva ou negativa.

$\begin{array}{c} Intervalo & Sinal no intervalo \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

Etapa 3.4

Integre o argumento do valor absoluto.

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Etapa 3.4.1

Estabeleça a integral com o argumento do valor absoluto.

$\int x + 2 d x$

Etapa 3.4.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int 2 d x$

Etapa 3.4.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

Etapa 3.4.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

Etapa 3.4.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Etapa 3.5

Nos intervalos onde o argumento é negativo, multiplique a solução da integral por $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Etapa 3.7

Simplifique.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Etapa 3.8

Simplifique.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Etapa 4

A função $F$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$