Álgebra Exemplos

$\frac{x + 1}{x^{2} - x - 20} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Etapa 1.3

Fatore $x^{2} + 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - (\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}) + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 2.7

Reordene os fatores de $(x - 5) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 1) (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.2.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 1 \cdot 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.5

Expanda $(- x - 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x (x + 4) - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.6.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.6.1.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.7

Expanda $(x + 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x (x - 5) + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.8

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Etapa 3.2.8.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.8.2

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.8.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.2.9.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos opostos em $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25$ .

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Etapa 3.3.1.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 1 + 0 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3.1.2

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{2 x + 1 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $8 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 6 x + 1 - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Subtraia $16$ de $1$ .

$\frac{- 6 x - 15 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $25$ de $- 15$ .

$\frac{- 6 x + x^{2} - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 3.3.3.3

Reordene $- 6 x$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} - 6 x - 40$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 40$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 10, 4$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 10}{(x + 1) (x - 5)}$