Álgebra Exemplos

$2 x^{2} + x \geq 15$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + x = 15$

Etapa 2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + x - 15 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 x^{2} + 1 x - 15 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $1$ como $- 5$ mais $6$

$2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{5}{2}, - 3$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$2 {(- 6)}^{2} - 6 \geq 15$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $66$ é maior do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 0 \geq 15$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$2 {(5)}^{2} + 5 \geq 15$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $55$ é maior do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq \frac{5}{2}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 3 or x \geq \frac{5}{2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 12