Álgebra Exemplos

$f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ como uma equação.

$y = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3 + \frac{5}{e^{y - 6}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$ .

$3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\frac{5}{e^{y - 6}} = x - 3$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados por $e^{y - 6}$ .

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum de $e^{y - 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Etapa 3.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$5 = (x - 3) e^{y - 6}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$ .

$x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$

Etapa 3.5.2

Fatore $e^{y - 6}$ de $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $e^{y - 6}$ de $x e^{y - 6}$ .

$e^{y - 6} x - 3 e^{y - 6} = 5$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $e^{y - 6}$ de $- 3 e^{y - 6}$ .

$e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3 = 5$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $e^{y - 6}$ de $e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3$ .

$e^{y - 6} (x - 3) = 5$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ por $x - 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ por $x - 3$ .

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $e^{y - 6}$ por $1$ .

$e^{y - 6} = \frac{5}{x - 3}$

Etapa 3.5.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 6}) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Etapa 3.5.5

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Expanda $\ln (e^{y - 6})$ movendo $y - 6$ para fora do logaritmo.

$(y - 6) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Etapa 3.5.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 6) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique $y - 6$ por $1$ .

$y - 6 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Etapa 3.5.6

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ é o inverso de $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $\ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Etapa 5.2.3.2

Some $0$ e $\frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Etapa 5.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (e^{x - 6}) + 6$

Etapa 5.2.4.3

Use as regras logarítmicas para mover $x - 6$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \ln (e) + 6$

Etapa 5.2.4.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \cdot 1 + 6$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x - 6 + 6$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x - 6 + 6$ .

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Etapa 5.2.5.1

Some $- 6$ e $6$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3}) + 0}}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\ln (\frac{5}{x - 3})$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3})}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{\frac{5}{x - 3}}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Etapa 5.3.4.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Etapa 5.3.4.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + x - 3$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $3 + x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ é o inverso de $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$