Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 5.3

Combine os termos opostos em $x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2$ .

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Etapa 5.3.1

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 5.3.2

Some $x - x (x + 1) + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x \cdot x - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x - (x \cdot x) - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x - x^{2} - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - x^{2} - x + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.1

Combine os termos opostos em $x - x^{2} - x + x^{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- x^{2} + 0 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 7.1.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 7.1.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 7.2

Divida $0$ por $(x + 1) (x - 2)$ .

$0$