Álgebra Exemplos

$1 = \frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$ .

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$

Etapa 2

Fatore $y^{2} - 5 y - 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 8, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 y, 3 y, 1$

Etapa 3.2

Como $3 y, 3 y, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $3 y, 3 y, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $3 y, 3 y, 1$ .

Etapa 3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 3.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.6

O MMC de $3, 3, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 3.7

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.8

O MMC de $y^{1}, y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 3.9

O MMC de $3 y, 3 y, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 y$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ por $3 y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ por $3 y$ .

$\frac{y - 6}{3 y} (3 y) - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{y - 6}{3 (y)} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y - 6 - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y}$ para o numerador.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y - 6 - (y - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 + (- y - - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y - 6 + (- y + 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.7

Expanda $(- y + 8) (y + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 - y (y + 3) + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.8.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.8.1.1.1

Mova $y$ .

$y - 6 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.8.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y - 6 - y^{2} - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.8.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.8.1.3

Multiplique $8$ por $3$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 24 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.1.8.2

Some $- 3 y$ e $8 y$ .

$y - 6 - y^{2} + 5 y + 24 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $y$ e $5 y$ .

$6 y - 6 - y^{2} + 24 = 1 (3 y)$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 6$ e $24$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 1 (3 y)$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $3 y$ por $1$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 3 y$

Etapa 5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$6 y - y^{2} + 18 - 3 y = 0$

Etapa 5.1.2

Subtraia $3 y$ de $6 y$ .

$3 y - y^{2} + 18 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$3 u - u^{2} + 18 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Reordene os termos.

$- u^{2} + 3 u + 18 = 0$

Etapa 5.2.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$- u^{2} + 3 (u) + 18 = 0$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$- u^{2} + (- 3 + 6) u + 18 = 0$

Etapa 5.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- u^{2} - 3 u + 6 u + 18 = 0$

Etapa 5.2.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- u^{2} - 3 u) + 6 u + 18 = 0$

Etapa 5.2.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (- u - 3) - 6 (- u - 3) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$(- u - 3) (u - 6) = 0$

Etapa 5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(- y - 3) (y - 6) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- y - 3 = 0$

$y - 6 = 0$

Etapa 5.4

Defina $- y - 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $- y - 3$ como igual a $0$ .

$- y - 3 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $- y - 3 = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- y = 3$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $- y = 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $- y = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 5.4.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{- 1}$

Etapa 5.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$y = - 3$

Etapa 5.5

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(- y - 3) (y - 6) = 0$ verdadeiro.

$y = - 3, 6$