Álgebra Exemplos

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{a}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ .

$x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Etapa 3

Expanda $\ln (x^{a})$ movendo $a$ para fora do logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$ .

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Etapa 4.1.1

Multiplique $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Etapa 4.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Etapa 4.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Etapa 4.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Etapa 4.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 4.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 4.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 4.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Etapa 4.1.2.6.5

Simplifique.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Etapa 4.1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.4

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1 - \frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Etapa 4.1.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 5

Divida cada termo em $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ por $\ln (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ por $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$