Álgebra Exemplos

$\frac{x - 5}{x + 2} \geq \frac{x - 8}{x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x - 8}{x}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 5}{x + 2} - \frac{x - 8}{x} \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 5}{x + 2} - \frac{x - 8}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 5}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 5}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 8}{x} \geq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x - 8}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 5}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 8}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \geq 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 5}{x + 2}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 5) x}{(x + 2) x} - \frac{x - 8}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \geq 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x - 8}{x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 5) x}{(x + 2) x} - \frac{(x - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x + 2) x$ .

$\frac{(x - 5) x}{x (x + 2)} - \frac{(x - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 5) x - (x - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x - 5 x - (x - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - (x - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + (- x - - 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + (- x + 8) (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.5

Expanda $(- x + 8) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - x (x + 2) + 8 (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - x \cdot x - x \cdot 2 + 8 (x + 2)}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - x \cdot x - x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - x^{2} - x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - x^{2} - 2 x + 8 x + 8 \cdot 2}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.6.1.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - x^{2} - 2 x + 8 x + 16}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.6.2

Some $- 2 x$ e $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - x^{2} + 6 x + 16}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x + 0 + 6 x + 16}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.8

Some $- 5 x$ e $0$ .

$\frac{- 5 x + 6 x + 16}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 2.5.9

Some $- 5 x$ e $6 x$ .

$\frac{x + 16}{x (x + 2)} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x + 16 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x = - 16$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 16$

$x = - 2$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 0, - 16, - 2$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x + 16}{x (x + 2)}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 16}{x (x + 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x + 2) = 0$

Etapa 8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 8.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 8.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 8.2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 8.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 16$

$- 16 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 16$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 16$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 18$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 18$ na desigualdade original.

$\frac{(- 18) - 5}{(- 18) + 2} \geq \frac{(- 18) - 8}{- 18}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1.4375$ é menor do que o lado direito $1.\overline{4}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 16 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 16 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) - 5}{(- 4) + 2} \geq \frac{(- 4) - 8}{- 4}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $4.5$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{(- 1) - 5}{(- 1) + 2} \geq \frac{(- 1) - 8}{- 1}$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{(2) - 5}{(2) + 2} \geq \frac{(2) - 8}{2}$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $- 0.75$ é maior do que o lado direito $- 3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 16$ Falso

$- 16 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 16$ Falso

$- 16 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 16 \leq x < - 2$ ou $x > 0$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 16 \leq x < - 2 or x > 0$

Notação de intervalo:

$[- 16, - 2) \cup (0, \infty)$

Etapa 13