Álgebra Exemplos

$\frac{k^{10} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $k^{10}$ como ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{{(k^{5})}^{2} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 1.2

Deixe $u = k^{5}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $k^{5}$ .

$\frac{u^{2} + 9 u + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + 9 u + 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $9$ .

$3, 6$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(u + 3) (u + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $k^{10}$ como ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5})}^{2} + 6 k^{5} + 9}$

Etapa 2.2

Deixe $u = k^{5}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 9}$

Etapa 2.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 3^{2}}$

Etapa 2.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 2.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}}$

Etapa 2.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(u + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5} + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $k^{5} + 3$ de ${(k^{5} + 3)}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{k^{5} + 6}{k^{5} + 3}$