Álgebra Exemplos

$9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Etapa 1

Fatore $3 x^{2}$ de $9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$ .

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Etapa 1.1

Fatore $3 x^{2}$ de $9 x^{3}$ .

$3 x^{2} (3 x) - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Etapa 1.2

Fatore $3 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Etapa 1.3

Fatore $3 x^{2}$ de $12 x^{5}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{7}$

Etapa 1.4

Fatore $3 x^{2}$ de $- 18 x^{7}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Etapa 1.5

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2)$ .

$3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Etapa 1.6

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Etapa 1.7

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3} - 6 x^{5})$

Etapa 2

Reagrupe os termos.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 3 x - 2 + 4 x^{3})$

Etapa 3

Reordene os termos.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 4 x^{3} + 3 x - 2)$

Etapa 4

Fatore $4 x^{3} + 3 x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Etapa 4.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.3.3

Multiplique $4$ por $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.3.4

Multiplique $3$ por $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Etapa 4.3.5

Some $0.5$ e $1.5$ .

$2 - 2$

Etapa 4.3.6

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 4.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Etapa 4.5

Divida $4 x^{3} + 3 x - 2$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Etapa 4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Etapa 4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Etapa 4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + x + 2$

Etapa 4.6

Escreva $4 x^{3} + 3 x - 2$ como um conjunto de fatores.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Etapa 5

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{5}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Etapa 5.2

Fatore $- 1$ de $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2))$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} + (- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Etapa 6

Expanda $(- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.2.3

Some $2$ e $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.6

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 1 \cdot 2))$

Etapa 7.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2))$

Etapa 8

Combine os termos opostos em $- 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2$ .

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Etapa 8.1

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + 0 + x + 2))$

Etapa 8.2

Some $- 4 x^{3} - 4 x$ e $0$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + x + 2))$

Etapa 9

Some $- 4 x$ e $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Etapa 10

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x^{2} \cdot - 1 (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$

Etapa 11

Combine expoentes.

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Etapa 11.1

Fatore o negativo.

$- (3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Etapa 11.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Etapa 12

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$