Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 21 x^{2} + 100 x - 100$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = - 4 x^{3} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 2

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 100 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 2.2

Fatore $- 4 x$ de $100 x$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 25 + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 2.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 25)$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 4

Fatore.

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Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$f (x) = - 4 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} - 100$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 21 u - 100$

Etapa 7

Fatore $u^{2} - 21 u - 100$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 100$ e cuja soma é $- 21$ .

$- 25, 4$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u + 4)$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} + 4)$

Etapa 9

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 4)$

Etapa 10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

Etapa 11

Fatore $(x + 5) (x - 5)$ de $- 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 11.1

Fatore $(x + 5) (x - 5)$ de $- 4 x (x + 5) (x - 5)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

Etapa 11.2

Fatore $(x + 5) (x - 5)$ de $(x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x + x^{2} + 4)$

Etapa 12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 u + u^{2} + 4)$

Etapa 13

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 13.1

Reorganize os termos.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 4)$

Etapa 13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 2^{2})$

Etapa 13.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 13.4

Reescreva o polinômio.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Etapa 13.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(u - 2)}^{2}$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(x - 2)}^{2}$