Álgebra Exemplos

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y^{2} - 4}$ como ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

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Etapa 2.4.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Etapa 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + 4}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq - 4$

Etapa 4.3.2.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em números reais apenas.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ não é um inverso de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Não há inverso

Etapa 5