Álgebra Exemplos

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Etapa 2

Reescreva $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ como $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Etapa 3

Expanda $\ln (2^{2 + x})$ movendo $2 + x$ para fora do logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Etapa 4

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ como $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Etapa 6

Reescreva $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Etapa 7

Expanda $\ln (6^{3 x - 1})$ movendo $3 x - 1$ para fora do logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Etapa 8

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Etapa 8.1.2

Mova $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Etapa 8.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Etapa 8.2.2.2

Reescreva $- 1 \ln (6)$ como $- \ln (6)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Etapa 8.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Etapa 8.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Etapa 8.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Etapa 8.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Etapa 8.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 8.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Etapa 8.2.4.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Etapa 8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1

Simplifique $3 \ln (6)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Etapa 8.4.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Etapa 8.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 8.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Etapa 8.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Etapa 8.7.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Etapa 8.8

Subtraia $\ln (36)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Etapa 8.9

Fatore $x$ de $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ .

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Etapa 8.9.1

Fatore $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Etapa 8.9.2

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Etapa 8.9.3

Fatore $x$ de $- x \ln (216)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Etapa 8.9.4

Fatore $x$ de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Etapa 8.9.5

Fatore $x$ de $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Etapa 8.10

Reescreva $- 1 \ln (216)$ como $- \ln (216)$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Etapa 8.11

Divida cada termo em $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ por $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ e simplifique.

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Etapa 8.11.1

Divida cada termo em $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ por $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Etapa 8.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.11.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

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Etapa 8.11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Etapa 8.11.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Etapa 8.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Forma decimal:

$x = 1$