Álgebra Exemplos

$\frac{y + 1}{y^{2} - y - 6} + \frac{y + 2}{y^{2} - 9} = \frac{1}{y + 2}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y^{2} - y - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} + \frac{y + 2}{y^{2} - 9} = \frac{1}{y + 2}$

Etapa 1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} + \frac{y + 2}{y^{2} - 3^{2}} = \frac{1}{y + 2}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{1}{y + 2}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(y - 3) (y + 2), (y + 3) (y - 3), y + 2$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $y - 3$ é o próprio $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $y + 2$ é o próprio $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $y + 3$ é o próprio $y + 3$ .

$(y + 3) = y + 3$

$(y + 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $y - 3$ é o próprio $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $y + 2$ é o próprio $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $y - 3, y + 2, y + 3, y - 3, y + 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y - 3) (y + 2) (y + 3)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{1}{y + 2}$ por $(y - 3) (y + 2) (y + 3)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{1}{y + 2}$ por $(y - 3) (y + 2) (y + 3)$ .

$\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(y - 3) (y + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{(y - 3) (y + 2)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$(y + 1) (y + 3) + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(y + 1) (y + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (y + 3) + 1 (y + 3) + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 1 (y + 3) + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} + 3 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{2} + 3 y + y + 1 \cdot 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{2} + 3 y + y + 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $3 y$ e $y$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + \frac{y + 2}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $(y - 3) (y + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Fatore $(y - 3) (y + 3)$ de $(y + 3) (y - 3)$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + \frac{y + 2}{(y - 3) (y + 3) (1)} ((y - 3) (y + 2) (y + 3)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.4.2

Fatore $(y - 3) (y + 3)$ de $(y - 3) (y + 2) (y + 3)$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + \frac{y + 2}{(y - 3) (y + 3) (1)} ((y - 3) (y + 3) (y + 2)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} + 4 y + 3 + \frac{y + 2}{(y - 3) (y + 3) \cdot 1} ((y - 3) (y + 3) (y + 2)) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 4 y + 3 + (y + 2) (y + 2) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $y + 2$ à potência de $1$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{1} (y + 2) = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.6

Eleve $y + 2$ à potência de $1$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{1} {(y + 2)}^{1} = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{1 + 1} = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.2.1.8

Some $1$ e $1$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = \frac{1}{y + 2} ((y - 3) (y + 2) (y + 3))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $y + 2$ de $(y - 3) (y + 2) (y + 3)$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) ((y - 3) (y + 3)))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) ((y - 3) (y + 3)))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = (y - 3) (y + 3)$

Etapa 3.3.2

Expanda $(y - 3) (y + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y (y + 3) - 3 (y + 3)$

Etapa 3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y \cdot y + y \cdot 3 - 3 (y + 3)$

Etapa 3.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y \cdot y + y \cdot 3 - 3 y - 3 \cdot 3$

Etapa 3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y \cdot 3 - 3 y - 3 \cdot 3$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot 3$ e $- 3 y$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y \cdot y + 3 y - 3 y - 3 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.1.2

Subtraia $3 y$ de $3 y$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y \cdot y + 0 - 3 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y \cdot y - 3 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y^{2} - 3 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = y^{2} - 9$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} - y^{2} = - 9$

Etapa 4.1.2

Combine os termos opostos em $y^{2} + 4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} + 0 = - 9$

Etapa 4.1.2.2

Some $4 y + 3 + {(y + 2)}^{2}$ e $0$ .

$4 y + 3 + {(y + 2)}^{2} = - 9$

Etapa 4.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Reescreva ${(y + 2)}^{2}$ como $(y + 2) (y + 2)$ .

$4 y + 3 + (y + 2) (y + 2) = - 9$

Etapa 4.1.3.2

Expanda $(y + 2) (y + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 3 + y (y + 2) + 2 (y + 2) = - 9$

Etapa 4.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 3 + y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2) = - 9$

Etapa 4.1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 3 + y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 = - 9$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y + 3 + y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 = - 9$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$4 y + 3 + y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2 = - 9$

Etapa 4.1.3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y + 3 + y^{2} + 2 y + 2 y + 4 = - 9$

Etapa 4.1.3.3.2

Some $2 y$ e $2 y$ .

$4 y + 3 + y^{2} + 4 y + 4 = - 9$

Etapa 4.1.4

Some $4 y$ e $4 y$ .

$8 y + 3 + y^{2} + 4 = - 9$

Etapa 4.1.5

Some $3$ e $4$ .

$8 y + y^{2} + 7 = - 9$

Etapa 4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$8 y + y^{2} + 7 + 9 = 0$

Etapa 4.3

Some $7$ e $9$ .

$8 y + y^{2} + 16 = 0$

Etapa 4.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$8 u + u^{2} + 16 = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Reorganize os termos.

$u^{2} + 8 u + 16 = 0$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u^{2} + 8 u + 4^{2} = 0$

Etapa 4.4.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Etapa 4.4.2.4

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Etapa 4.4.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

${(u + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

${(y + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.5

Defina $y + 4$ como igual a $0$ .

$y + 4 = 0$

Etapa 4.6

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - 4$