Álgebra Exemplos

$\log_{6} (x^{2} + 8) = 1 + \log_{6} (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{6} (x^{2} + 8) - \log_{6} (x) = 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$

Etapa 3

Reescreva $\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{1} = \frac{x^{2} + 8}{x}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} + 8 = 6 (x)$

Etapa 5

Multiplique $6$ por $x$ .

$x^{2} + 8 = 6 x$

Etapa 6

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 8 - 6 x = 0$

Etapa 7

Fatore $x^{2} + 8 - 6 x$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 8

Simplifique $(x - 4) (x - 2)$ .

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Etapa 8.1

Expanda $(x - 4) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 2) - 4 (x - 2) = 0$

Etapa 8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) = 0$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Etapa 8.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Etapa 8.2.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 4 x + 8 = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Etapa 9

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 11.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$