Álgebra Exemplos

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{4}{x^{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{2 x - 1}{3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 x^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{4}{x^{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{2 x - 1}{3 x}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x \cdot x^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x)}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x^{1})}$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{2 + 1}}$

Etapa 3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 x^{3}} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 3 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 + (- (2 x) - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x + 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.6.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + x^{2}}{3 x^{3}}$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{3 x^{3}}$

Etapa 5.9

Fatore $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.9.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 5.9.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 5.9.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.9.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 12$

Etapa 5.9.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 2^{2} + 12$

Etapa 5.9.3.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 2^{2} + 12$

Etapa 5.9.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 16 + 4 + 12$

Etapa 5.9.3.5

Some $- 16$ e $4$ .

$- 12 + 12$

Etapa 5.9.3.6

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 5.9.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{x - 2}$

Etapa 5.9.5

Divida $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 5.9.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Etapa 5.9.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Etapa 5.9.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 5.9.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 5.9.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 5.9.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.9.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.9.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.9.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 6 x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.9.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Etapa 5.9.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 5.9.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 5.9.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 5.9.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.9.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 5.9.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} - 3 x - 6$

Etapa 5.9.6

Escreva $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Etapa 6.2

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - (3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Etapa 6.4

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6))}{3 x^{3}}$

Etapa 6.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.6.1

Reescreva $- (2 x^{2} + 3 x + 6)$ como $- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6)$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Etapa 6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x - 2) (2 x^{2} + 3 x + 6)}{3 x^{3}}$