Álgebra Exemplos

$\ln (x^{2} - 5 x) - \ln (x^{2} - 25) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{x^{2} - 25}) = 3$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 25}) = 3$

Etapa 1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 5^{2}}) = 3$

Etapa 1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = \frac{x}{x + 5}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x = e^{3} (x + 5)$

Etapa 4

Simplifique $e^{3} (x + 5)$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = e^{3} x + e^{3} \cdot 5$

Etapa 4.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{3}$ .

$x = e^{3} x + 5 e^{3}$

Etapa 5

Subtraia $e^{3} x$ dos dois lados da equação.

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x - e^{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{3} x = 5 e^{3}$

Etapa 6.1.3

Fatore $x$ de $- e^{3} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{3}) = 5 e^{3}$

Etapa 6.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{3})$ .

$x (1 - e^{3}) = 5 e^{3}$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{3}) = 5 e^{3}$

Etapa 6.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x ((1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Etapa 6.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x ((1 - e) (1 + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Etapa 6.4.1.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$x ((1 - e) (1 + e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Etapa 6.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$

Etapa 7

Divida cada termo em $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ por $1 - e^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ por $1 - e^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1 - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1^{3} - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.1.3.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $1 - e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum de $1 + e + e^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1^{3} - e^{3}}$

Etapa 7.3.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})}$

Etapa 7.3.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})}$

Etapa 7.3.1.3.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Forma decimal:

$x = - 5.26197848 \dots$