Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ por $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x^{2} + y^{2}) + (x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.3

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x (x + y) + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.4.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.4.2

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.4.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.5

Expanda $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.6.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x^{1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2 + 1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.1.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 (x \cdot x) y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.4.1

Mova $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{2} y}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.7

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.7.1

Mova $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y \cdot y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.7.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 6.6.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y^{1} y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{1 + 2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.6.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.7

Some $- x^{2} y$ e $2 x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + 1 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.8

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.9

Some $- 2 x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

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Etapa 6.9.1

Reordene $y^{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.9.2

Some $- 2 x y^{2}$ e $x y^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.10

Some $x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.11

Subtraia $x y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y + 0 - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Etapa 6.12

Some $2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$