Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 3) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{x + 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{x - 1}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 2 - x \cdot x - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.1

Combine os termos opostos em $2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2$ .

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Etapa 7.1.1

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 0 + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7.1.2

Some $2 x - 2 - 3 x$ e $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7.1.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{2 x - 3 x + 0}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7.1.4

Some $2 x - 3 x$ e $0$ .

$\frac{2 x - 3 x}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7.2

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x}{(x + 3) (x - 1)}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{(x + 3) (x - 1)}$