Álgebra Exemplos

$| x^{2} + x - 6 | < 6$

Etapa 1

Escreva $| x^{2} + x - 6 | < 6$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x^{2} + x - 6 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 1.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 1.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 1.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 \geq 0$

Etapa 1.2.8.1.3

O lado esquerdo $24$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 \geq 0$

Etapa 1.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} + 4 - 6 \geq 0$

Etapa 1.2.8.3.3

O lado esquerdo $14$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 2$

Etapa 1.3

Na parte em que $x^{2} + x - 6$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x^{2} + x - 6 < 6$

Etapa 1.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x^{2} + x - 6 < 0$

Etapa 1.5

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Etapa 1.5.2

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 1.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.5.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.5.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.5.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.5.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 1.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 1.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 1.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 0$

Etapa 1.5.8.1.3

O lado esquerdo $24$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.5.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.5.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 0$

Etapa 1.5.8.2.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.5.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} + 4 - 6 < 0$

Etapa 1.5.8.3.3

O lado esquerdo $14$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 1.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < 2$

Etapa 1.6

Na parte em que $x^{2} + x - 6$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- (x^{2} + x - 6) < 6$

Etapa 1.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - (x^{2} + x - 6) < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Etapa 1.8

Simplifique $- (x^{2} + x - 6) < 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x - - 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x + 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $x^{2} + x - 6 < 6$ quando $x \leq - 3 or x \geq 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $x^{2} + x - 6 < 6$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + x - 6 = 6$

Etapa 2.1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 6 - 6 = 0$

Etapa 2.1.3

Subtraia $6$ de $- 6$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 2.1.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.1.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.1.7

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.1.7.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.1.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 2.1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 2.1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.1.10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 6$

Etapa 2.1.10.1.3

O lado esquerdo $24$ não é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.1.10.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.1.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 6$

Etapa 2.1.10.2.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.1.10.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{2} + 6 - 6 < 6$

Etapa 2.1.10.3.3

O lado esquerdo $36$ não é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 2.1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < 3$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $- 4 < x < 3$ e $x \leq - 3 o r + x \geq 2$ .

$- 4 < x \leq - 3$ ou $2 \leq x < 3$

Etapa 3

Resolva $- x^{2} - x + 6 < 6$ quando $- 3 < x < 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $- x^{2} - x + 6 < 6$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} - x + 6 = 6$

Etapa 3.1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} - x + 6 - 6 = 0$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $- x^{2} - x + 6 - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$- x^{2} - x + 0 = 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $- x^{2} - x$ e $0$ .

$- x^{2} - x = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $- x$ de $- x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - x = 0$

Etapa 3.1.4.2

Fatore $- x$ de $- x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 1 = 0$

Etapa 3.1.4.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (1)$ .

$- x (x + 1) = 0$

Etapa 3.1.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.1.6

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.1.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.1.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.1.8

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 3.1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 3.1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.1.10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- {(- 4)}^{2} - (- 4) + 6 < 6$

Etapa 3.1.10.1.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.1.10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 3.1.10.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$- {(- 0.5)}^{2} - (- 0.5) + 6 < 6$

Etapa 3.1.10.2.3

O lado esquerdo $6.25$ não é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 3.1.10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$- {(2)}^{2} - (2) + 6 < 6$

Etapa 3.1.10.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 3.1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $x > 0$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x < - 1 or x > 0$ e $- 3 < x < 2$ .

$- 3 < x < - 1$ ou $0 < x < 2$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$- 4 < x < - 1$ ou $0 < x < 3$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < - 1 or 0 < x < 3$

Notação de intervalo:

$(- 4, - 1) \cup (0, 3)$

Etapa 6