Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{x^{2} - 25} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{x^{2} - 5^{2}} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{x - 1}{x - 5}$ por $\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - (\frac{x - 1}{x - 5} \cdot \frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}) + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{x - 1}{x - 5}$ por $\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3}{x + 3}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{3}{x + 3}$ por $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3}{x + 3} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{3}{x + 3}$ por $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) ((x + 5) (x - 5))}$

Etapa 2.7

Reordene os fatores de $(x - 5) ((x + 5) (x + 3))$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) ((x + 5) (x - 5))}$

Etapa 2.8

Reordene os fatores de $(x + 3) ((x + 5) (x - 5))$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 3) (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 3) + 3 (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.2.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x - - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.5

Expanda $(x + 5) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x (x + 3) + 5 (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.1.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 3 x + 5 x + 15) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.6.2

Some $3 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 8 x + 15) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.7

Expanda $(- x + 1) (x^{2} + 8 x + 15)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x \cdot x^{2} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} x) - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} x^{1}) - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{2 + 1} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 x \cdot x - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 x^{2} - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.5

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.7

Multiplique $8 x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 8 x + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.8.8

Multiplique $15$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 8 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.9

Some $- 8 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 15 x + 8 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.10

Some $- 15 x$ e $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.11

Expanda $(x + 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.12

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Etapa 4.12.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.12.2

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.12.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.13.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.13.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x^{2} - 25)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.14

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 25}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 4.15

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 x^{2} - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Subtraia $7 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x + 15 + 3 x^{2} - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.2

Some $- 6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x + 15 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.3

Subtraia $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x + 9 - x^{3} + 15 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Some $9$ e $15$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x - x^{3} + 24 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $75$ de $24$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x - x^{3} - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.4.3

Mova $- x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x^{3} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.4.4

Reordene $- 3 x^{2}$ e $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- (x^{3}) - 3 x^{2} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (x^{3}) - (3 x^{2}) - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2}) - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2}) - (x) - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.10

Reescreva $- 51$ como $- 1 (51)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 1 (51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 1 (51)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.12.1

Reescreva $- (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)$ como $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)$ .

$\frac{- 1 (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{3} + 3 x^{2} + x + 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$