Álgebra Exemplos

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $\log_{x - 3} (36) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Etapa 2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{36}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Etapa 2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x - 3 = \pm 6$

Etapa 2.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x - 3 = 6$

Etapa 2.2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 6 + 3$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $6$ e $3$ .

$x = 9$

Etapa 2.2.3.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x - 3 = - 6$

Etapa 2.2.3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.3.4.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = - 6 + 3$

Etapa 2.2.3.4.2

Some $- 6$ e $3$ .

$x = - 3$

Etapa 2.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 9, - 3$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

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Etapa 3.1

Defina a base em $\log_{x - 3} (36)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 3 > 0$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x > 3$

Etapa 3.3

Defina a base em $\log_{x - 3} (36)$ como igual a $1$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 1$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 1 + 3$

Etapa 3.4.2

Some $1$ e $3$ .

$x = 4$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Etapa 5.1.3

O logaritmo de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Etapa 5.2.3

O logaritmo de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3.5$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $3.5$ na desigualdade original.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $- 5.169925$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $4 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $3.2618595$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.5

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 5.5.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Etapa 5.5.3

O lado esquerdo $1.63092975$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Indefinido

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$4 < x < 9$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$4 < x < 9$

Notação de intervalo:

$(4, 9)$

Etapa 8