Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{15 - 2 x - x^{2}}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{15 - 2 x - x^{2}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $15$ como $16$ mais $- 1$

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - 1 - 2 x - x^{2}}$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - {(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4^{2} - {(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 1 + x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(4 + 1 + x) (4 - (1 + x))}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $4$ e $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - (1 + x))}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 \cdot 1 - x)}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 - x)}$

Etapa 2.5.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Etapa 3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ e $3 - x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (3)) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Etapa 3.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Etapa 3.1.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Etapa 3.1.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (x + 1)}{5 + x}$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 1}{5 + x}$