Álgebra Exemplos

$\cos (2 θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 3

Subtraia $\cos^{2} (θ)$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique $- \frac{1}{2} - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Etapa 4.1.4.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{3}{2}$

Etapa 5

Resolva a equação para $θ$ .

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Etapa 5.1

Some $\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.2

Substitua $\cos^{2} (θ)$ por $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3

Resolva $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique $- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 5.3.1.1.1

Escreva $- 2 \sin^{2} (θ)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.1.2

Multiplique $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} \cdot \frac{2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.1.3

Multiplique $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.1.4

Escreva $- (1 - \sin^{2} (θ))$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.1.5

Multiplique $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.1.6

Multiplique $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2 - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.3.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 \cdot 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.4

Multiplique $- - \sin^{2} (θ)$ .

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Etapa 5.3.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + 1 \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.4.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 1 \cdot 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.1.4.1

Some $- 4 \sin^{2} (θ)$ e $2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) - 2 + 3}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) + 1}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.3

Fatore $- 1$ de $- 2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) + 1}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.5

Fatore $- 1$ de $- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1.4.6.1

Reescreva $- (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ como $- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Etapa 5.3.1.4.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \sin^{2} (θ) - 1}{2} = 0$

Etapa 5.3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$

Etapa 5.3.3

Resolva a equação para $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.3.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Etapa 5.3.3.2

Divida cada termo em $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.2.1

Divida cada termo em $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Divida $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.3.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.3.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.3.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.3.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.3.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.3.3.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.3.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.3.3.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.3.3.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 5.3.5.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.5.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.5.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.5.4

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.3.5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.3.5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.5.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.3.5.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.3.5.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.3.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.3.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.3.5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.3.5.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.6

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 5.3.6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.6.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.6.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 5.3.6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.3.6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 5.3.6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.3.6.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.3.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.3.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.3.6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.3.6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 5.3.6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.6.6.3

Combine frações.

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Etapa 5.3.6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.3.6.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.6.6.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.3.6.6.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 5.3.6.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Etapa 5.3.6.7

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.7

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.3.8

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$