Álgebra Exemplos

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ como uma equação.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $- \frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.4.2.3.2

Combine.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Etapa 3.4.2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.3.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Etapa 3.4.2.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.4.4.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ é o inverso de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 5.3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} \geq 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.4

Defina o denominador em $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Etapa 5.3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Etapa 5.3.5.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Divida cada termo em $9 x^{3} = 0$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.1

Divida cada termo em $9 x^{3} = 0$ por $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.3.5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.3.5.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.3.5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.3.1

Divida $0$ por $9$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.5.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.3.6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Etapa 5.4.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Etapa 5.4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ como ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1

Simplifique ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Etapa 5.4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1

Divida cada termo em $9 x^{2} = 0$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1

Divida cada termo em $9 x^{2} = 0$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.4.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.4.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $9$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.3.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ é o intervalo de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ é o domínio de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ é o inverso de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6