Álgebra Exemplos

${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

Etapa 1

Como $x = r \cos (θ)$ , substitua $x$ por $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

Etapa 2

Como $y = r \sin (θ)$ , substitua $y$ por $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) + 2)}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} = 4$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

${((r \cos (θ)) + 2)}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva ${(r \cos (θ) + 2)}^{2}$ como $(r \cos (θ) + 2) (r \cos (θ) + 2)$ .

$(r \cos (θ) + 2) (r \cos (θ) + 2) + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(r \cos (θ) + 2) (r \cos (θ) + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) + 2) + 2 (r \cos (θ) + 2) + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ) + 2) + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.1.1

Mova $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot 2 + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 2 \cdot (r \cos (θ)) + 2 (r \cos (θ)) + 2 \cdot 2 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 2 r \cos (θ) + 2 r \cos (θ) + 4 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $2 r \cos (θ)$ e $2 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + 4 + {(r \sin (θ))}^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Aplique a regra do produto a $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + 4 + r^{2} \sin^{2} (θ) - 4 = 0$

Etapa 3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Combine os termos opostos em $r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + 4 + r^{2} \sin^{2} (θ) - 4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) + 0 = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)$ e $0$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Mova $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.2.4

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.2.5

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.3

Reorganize os termos.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$r^{2} \cdot 1 + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.2.5

Multiplique $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $r$ de $r^{2} + 4 r \cos (θ)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $r$ de $r^{2}$ .

$r \cdot r + 4 r \cos (θ) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $r$ de $4 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (4 \cos (θ)) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $r$ de $r \cdot r + r (4 \cos (θ))$ .

$r (r + 4 \cos (θ)) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r = 0$

$r + 4 \cos (θ) = 0$

Etapa 3.5

Defina $r$ como igual a $0$ .

$r = 0$

Etapa 3.6

Defina $r + 4 \cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $r + 4 \cos (θ)$ como igual a $0$ .

$r + 4 \cos (θ) = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $4 \cos (θ)$ dos dois lados da equação.

$r = - 4 \cos (θ)$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $r (r + 4 \cos (θ)) = 0$ verdadeiro.

$r = 0$

$r = - 4 \cos (θ)$

$r = 0$

$r = - 4 \cos (θ)$