Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ como uma equação.

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$a = \frac{y x + b}{c x + d}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y x + b}{c x + d} = a$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} = a$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $c x + d$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique $\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $c x + d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y x + b = a (c x + d)$

Etapa 3.3.1.1.2

Reordene $y$ e $x$ .

$x y + b = a (c x + d)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y + b = a c x + a d$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$x y = a c x + a d - b$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $x y = a c x + a d - b$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $x y = a c x + a d - b$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2

Divida $a c$ por $1$ .

$y = a c + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ é o inverso de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (a)) = a$ e $f (f^{- 1} (a)) = a$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (a))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (a))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot c + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Combine $\frac{a x + b}{c x + d}$ e $c$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{a x + b}{c x + d}$ por $\frac{d}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.4

Para escrever $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x}{(c x + d) x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $a x + b$ de $(a x + b) c x + (a x + b) d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Fatore $a x + b$ de $(a x + b) c x$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.6.1.2

Fatore $a x + b$ de $(a x + b) d$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.6.1.3

Fatore $a x + b$ de $(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum de $c x + d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b}{x} - \frac{b}{x}$

Etapa 5.2.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b - b}{x}$

Etapa 5.2.7.2

Combine os termos opostos em $a x + b - b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.2.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + 0}{x}$

Etapa 5.2.7.2.2

Some $a x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Etapa 5.2.7.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Etapa 5.2.7.3.2

Divida $a$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = a$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (a))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (a))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{(a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{b}{x}$ para o numerador.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - b + b}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.3

Some $- b$ e $b$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + 0}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.4

Some $a c x + a d$ e $0$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $a$ de $a c x + a d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $a$ de $a c x$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a d}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.5.2

Fatore $a$ de $a d$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a (d)}{c x + d}$

Etapa 5.3.3.5.3

Fatore $a$ de $a (c x) + a (d)$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $c x + d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $a$ por $1$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = a$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (a)) = a$ e $f (f^{- 1} (a)) = a$ , então, $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ é o inverso de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$