Álgebra Exemplos

$7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, y, 1, 3$

Etapa 1.2

Como $1, y, 1, 3$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $1, y, 1, 3$ 1) e, depois, o da parte variável $1, y, 1, 3$ .

Etapa 1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.5

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 1.6

O MMC de $1, 1, 1, 3$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 1.7

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 1.9

O MMC de $1, y, 1, 3$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 y$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$ por $3 y$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$ por $3 y$ .

$7 y (3 y) + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 \cdot 3 y \cdot y + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.2.1

Mova $y$ .

$7 \cdot 3 (y \cdot y) + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$7 \cdot 3 y^{2} + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $7$ por $3$ .

$21 y^{2} + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$21 y^{2} + 3 \frac{4}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $3 \frac{4}{y}$ .

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Etapa 2.2.1.5.1

Combine $3$ e $\frac{4}{y}$ .

$21 y^{2} + \frac{3 \cdot 4}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$21 y^{2} + \frac{12}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$21 y^{2} + \frac{12}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$21 y^{2} + 12 + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.2.1.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$21 y^{2} + 12 + 6 y = - \frac{4}{3} (3 y)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 y)$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $3$ de $3 y$ .

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 (y))$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 y)$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = - 4 y$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$21 y^{2} + 12 + 6 y + 4 y = 0$

Etapa 3.1.2

Some $6 y$ e $4 y$ .

$21 y^{2} + 12 + 10 y = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 21$ , $b = 10$ e $c = 12$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (21 \cdot 12)}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 21 \cdot 12}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 21 \cdot 12$ .

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Etapa 3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $21$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84 \cdot 12}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $- 84$ por $12$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 1008}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.3

Subtraia $1008$ de $100$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 908}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva $- 908$ como $- 1 (908)$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 908}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (908)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{908}$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{908}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{908}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.7

Reescreva $908$ como $2^{2} \cdot 227$ .

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Etapa 3.4.1.7.1

Fatore $4$ de $908$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4 (227)}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 227}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot (2 \sqrt{227})}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $21$ .

$y = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{42}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \pm i \sqrt{227}}{21}$

Etapa 3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{5 - i \sqrt{227}}{21}, - \frac{5 + i \sqrt{227}}{21}$