Álgebra Exemplos

$y = - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 3$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = 3$

Etapa 1.2

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, 3)$

Etapa 1.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.4.3

Simplifique.

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Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 1.4.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.4.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.4.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

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Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, \frac{5}{2})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{7}{2}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 3)$

Foco: $(1, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{7}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 3)$

Foco: $(1, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{7}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Combine frações.

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Etapa 2.2.1.1

Remova os parênteses.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} + 5}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 5}{2}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 5}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} + 5}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Some $- 1$ e $5$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{4}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 2$

Etapa 2.2.3.3

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 5}{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 5}{2}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 5}{2}$

Etapa 2.5.3

Some $0$ e $5$ .

$f (0) = \frac{5}{2}$

Etapa 2.5.4

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 0$ é $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Remova os parênteses.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.8.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} + 5}{2}$

Etapa 2.8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 + 5}{2}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 + 5}{2}$

Etapa 2.8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.3.1

Some $- 9$ e $5$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 4}{2}$

Etapa 2.8.3.2

Divida $- 4$ por $2$ .

$f (3) = 3 - 2$

Etapa 2.8.3.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (3) = 1$

Etapa 2.8.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 3$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Remova os parênteses.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 + \frac{5}{2}$

Etapa 2.11.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} + 5}{2}$

Etapa 2.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 + 5}{2}$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 + 5}{2}$

Etapa 2.11.3

Some $- 4$ e $5$ .

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$

Etapa 2.11.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.11.5

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.11.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Etapa 2.11.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.7.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 + 1}{2}$

Etapa 2.11.7.2

Some $4$ e $1$ .

$f (2) = \frac{5}{2}$

Etapa 2.11.8

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{5}{2} \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} \\ 3 & 1 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 3)$

Foco: $(1, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{5}{2} \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} \\ 3 & 1 \end{array}$

Etapa 4